Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(i) , vec(j), vec(k))` On considère les points `A(1,1,0)` , `B(0,2,0) ` , `C(0,0,3) `

1a) Déterminer les coordonnées de ` vec(AB)`$$\land $$ ` vec(AC) `

b) Calculer l 'aire du triangle `(ABC) `

c) Calculer la distance du point `B` à la droite `(AC) `

d) Déterminer une équation cartésienne de `(ABC) `

2) Soit `(D)` la droite passant par `C` et dirigée par le vecteur ` vec(u)(1, 1, -3) `

Montrer que `(D) ` est orthogonale à la droite `(AB) `

3) Soit `(P)` le plan d'équation cartésienne `2x+ y -2z +1= 0 ` et `(S_m)` la sphère d'équation cartésienne

`(S_m) : x^2 +y^2 +z^2 -x -2y +5/4 - m = 0 ` ou ` m in ]0, +infty[`

a) Déterminer en fonction de `m` , le centre `Omega` et le rayon `R_m` de la sphère `(S_m)`

b) Déterminer la valeur de `m` pour laquelle le plan `(P)` est tangent à la sphère `(S_m)` puis déterminer les coordonnées du point de contact